8 lượt xem

Bảng nguyên hàm và các công thức Bảng nguyên hàm cần nhớ | Educationuk-vietnam.org

Định nghĩa: Nguyên sinh là gì?

Nguyên hàm là hành động ngược lại của đạo hàm. Chúng ta có thể xác định các nguyên thủy như sau:

Cho một hàm số f (x) xác định tại một khoảng H cho trước, khi đó ta có F (x) là một nguyên hàm nếu (x) nếu và chỉ khi F (x) là phân biệt trong H và F ‘(x). = f (x) với mọi x trong H.

Ví dụ, đối với hàm f (x) = Cos (x). Ta có F (x) = -sin (x) là nguyên thủy nếu (x) vì (-sin (x)) ‘= cos (x) hoặc F’ (x) = f (x)

– Ta có một số thực C nào đó, nếu F (x) là một nguyên hàm if (x) thì mọi hàm g (x) = F (x) + C cũng là một nguyên hàm if (x), ta gọi nó là một họ nguyên hàm. . ký hiệu: ( int f (x) dx )

– Hàm nào liên tục trong H thì có nguyên hàm trong H.

Thuộc tính của nguyên thủy

Nếu f (x) và g (x) là hai hàm liên tục trong H thì:

( int (f (x) + g (x)) dx = int f (x) dx + int g (x) dx )

( int Cf (x) dx = C int f (x) dx ) cho tất cả các số C thực khác 0

2. Hoàn thành bảng nguyên thủy của các hàm phổ biến

Có 3 dạng bảng nguyên hàm mà học sinh cần ghi nhớ để có thể vận dụng vào giải các bài toán đại số một cách chính xác nhất, vd:

  • Bảng nguyên thủy đơn giản với các công thức cụ thể:

Bảng công thức nguyên thủy cơ bản

  • Bảng nguyên thủy mở rộng (khác 0) với các công thức cụ thể:

Bảng mở rộng của công thức nguyên thủy

  • Bảng nguyên thủy nâng cao (khác 0) với các công thức cụ thể:

Bảng công thức nguyên thủy nâng cao

3. Phương pháp giải bài toán tìm nguyên hàm.

Đây là dạng bài tập khá phổ biến trong môn toán, đặc biệt là môn toán lớp 12. Đây là dạng bài tập được đánh giá là không khó đối với học sinh. Bạn có thể giải quyết những vấn đề như vậy khi bạn ghi nhớ và áp dụng đúng các công thức và bảng công thức.

Để giải bài toán tìm họ các nguyên hàm của hàm số y = f (x). Đó là, chúng tôi đang tìm kiếm một sản phẩm của chức năng đó. Để phân tích độ không đảm bảo, chúng tôi sử dụng một trong ba phương pháp:

READ  Hướng dẫn cách viết biểu mẫu kế hoạch tổ chức cuộc họp | Educationuk-vietnam.org

– Phương pháp phân tích.

– Phương pháp biến số.

Phương pháp tích hợp từng phần.

Để có thể giải được những bài toán dạng này, điều bạn cần quan tâm là f (x) có dạng hình gì nên có những bước nghiên cứu cụ thể để phân tích chúng. Những gì bạn cần làm là nghiên cứu và biến đổi để sử dụng biểu đồ cơ sở nguyên thủy để tìm ra kết quả. Không chỉ có phương pháp bảng nguyên thủy đơn giản mà bạn có thể áp dụng một trong các cách đã nêu ở trên.

3.1. Áp dụng công thức nguyên thủy cơ bản

Để hiểu rõ hơn về ứng dụng của các công thức trong bảng cơ sở của công thức nguyên thủy, bạn có thể tham khảo ví dụ dưới đây.

Công thức cơ bản nguyên thủy

3.2. Áp dụng công thức biến đổi nguyên thủy

Đối với phương pháp biến đổi nguyên hàm thông thường, chúng ta có một số công thức tổng quát trong bảng nguyên hàm hoàn chỉnh, cụ thể như sau:

  • Tích phân trong một giá trị nhất định của biến là 0:

( int limit_a ^ af (x) = 0 )

  • Dấu hiệu lật đổ, thay đổi:

( int limit_a ^ bf (x) dx = – int limit_b ^ af (x) dx )

  • Hằng số tích phân có thể được loại bỏ khỏi dấu tích phân:

( int limit_a ^ bk * f (x) dx = k * int limit_a ^ bf (x) dx )

  • Tích phân của một tổng bằng tổng của các tích phân:

( int limit_a ^ b[f_1(x)pm f_2(x)pm dotsi pm f_n(x)]dx = int limit_a ^ bf_1 (x) dx pm int limit_a ^ bf_2 (x) dx pm doti pm int limit_a ^ bf_n (x) dx )

( cho tất cả gamma in [a,b] Mũi tên phải int_a ^ bf (x) dx = int_a ^ gamma f (x) dx + int_ gamma ^ bf (x) dx )

  • So sánh các giá trị của tích phân:

(f (x) geq0 ) trong đoạn văn [a,b] ( Mũi tên phải int_a ^ bf (x) dx geq 0 )

(f (x) geq g (x) ) trong đoạn văn [a,b] ( Mũi tên phải int_a ^ bf (x) dx geq int_a ^ bg (x) dx )

READ  Văn bản điện tử là gì? Những thông tin xoay quanh văn bản điện tử | Educationuk-vietnam.org

(m leq f (x) leq M ) trong đoạn văn [a,b] ( Djathtas m (ba) leq int_a ^ bf (x) dx leq M (ba) )

Dựa vào các công thức trong bảng nguyên hàm trên, bạn có thể dễ dàng áp dụng vào các bài toán khó và phức tạp hơn.

3.3. Áp dụng nguyên thủy từng phần

Đây là phương pháp được sử dụng khi bài toán yêu cầu tính nguyên hàm của sản phẩm.

Ví dụ 1: Tìm nguyên hàm của các hàm sau:

một) (I_5 = int x ^ 2 ln xdx )

b) (I_6 = int x ln ^ 2 (x + 1) dx )

Hướng dẫn giải pháp:

một) (I_5 = int x ^ 2 ln xdx )

nơi ( start {case} u = ln x \ x ^ 2dx = dv end {case} ) ( Mũi tên trái ) ( begin {rastet} du = frac {dx} {x} \ v = frac {x ^ 3} {3} end {rastet} ) ( Mũi tên bên phải ) (I_5 = int x ^ 2 ln xdx = frac {x ^ 3} {3} ln x- int frac {x ^ 3} {3}. Frac {dx} {x} = frac {x ^ 3} {3} ln x- frac {x ^ 3} {9} + C. )

(I_5 = int x ^ 2 ln xdx = int ln xd ( frac {x ^ 3} {3}) = frac {x ^ 3} {3} ln x- int frac { x ^ 3} {3} d ( ln x) = frac {x ^ 3} {3} ln x- int frac {x ^ 3} {3} frac {dx} {x} = frac {x ^ 3} {3} ln x- frac {x ^ 3} {9} + C. )

b) (I_6 = int x ln ^ 2 (x + 1) dx )

Chúng ta có (I_6 = int x ln ^ 2 (x + 1) dx = int ln ^ 2 (x + 1) d ( frac {x ^ 2} {2}) = frac {x ^ 2} {2} ln ^ 2 (x + 1) – int frac {x ^ 2 {{2} d ( ln ^ 2 (x + 1)) )

Lưu ý: Đối với phương thức này, bạn phải có thứ tự ưu tiên được tìm thấy trong phương thức từng phần nguyên thủy. Cụ thể theo hướng Lôgarit – đa thức – hàm số lượng giác – cấp số nhân. Bạn cần chú ý phân tích theo hướng trên để có thể có những bước đi hiệu quả nhất.

3.4. Phương pháp nguyên hàm từng phần và phép biến đổi biến đổi

Đối với phương pháp này, bạn cần áp dụng đúng công thức để giải bài tập một cách chi tiết và đưa ra đáp án chính xác.

READ  40 trang học online dạy bạn mọi thứ trên đời | Educationuk-vietnam.org

Ví dụ 2: Không xác định, không thể thiếu

một) ( int frac {dx} { sqrt {(1-x ^ 2) ^ 3}} )

b) ( int frac {dx} { sqrt {x ^ 2 + 2x + 3}} )

Hướng dẫn giải pháp:

một bộ (x = sin t ); (t in (- frac { pi} {2}; frac { pi} {2}) Rightarrow dx = cos tdt )

( Rightarrow frac {dx {{ sqrt {(1-x ^ 2) ^ 3}} = frac { cos tdt} cos cos ^ 3t} = frac {dt} {cos ^ 2t} = d ( tan t). )

Sau đó: ( int frac {dx} { sqrt {(1-x ^ 2) ^ 3}} = int d ( tan t) = tan t + C = frac { sin t {{ sqrt {1- sin ^ 2t}} = frac {x} { sqrt {1-x ^ 2}} + C )

b) Vì (x ^ 2 + 2x + 3 = (x + 1) ^ 2 + ( sqrt 2) ^ 2, vậy )

nơi (x + 1 = sqrt 2 tan t ); (t in (- frac { pi} {2}; frac { pi {{2}) Rightarrow dx = sqrt2. frac {dt} cos cos ^ 2t}; tan t = frac {x + 1} { sqrt2} )

( Rightarrow frac {dx} { sqrt {x ^ 2 + 2x + 3}} = frac {dx} { sqrt {(x + 1) ^ 2 + ( sqrt2) ^ 2}} = frac {dt} { sqrt {2 ( tan ^ 2t + 1) cos ^ 2t}} = frac {dt {{ sqrt2 cos t} )

(= frac {1 {{ sqrt2}. frac { cos tdt} {1- sin ^ 2t} = – frac {1 {{2 sqrt2}. ( frac { cos tdt { sin t-1} – frac { cos tdt} { sin t + 1}). )

Sau đó: ( int frac {dx} { sqrt {x ^ 2 + 2x + 3}} = – frac {1} {2 sqrt2} int ( frac { cos tdt} { sin t-1 } – frac { cos tdt} { sin t + 1}) = – frac {1} {2 sqrt2} ln | frac { sin t-1} { sin t + 1} | + CŨ

) Jane nga

( tan t = frac {x + 1} { sqrt2} Mũi tên phải tan ^ 2t = frac { sin ^ 2t {{1- sin ^ 2 t} = frac {(x + 1 ) ^ 2} {2} Rightarrow sin ^ 2t = 1- frac {2 {{x ^ 2 + 2x + 3}. )

Chúng tôi tìm thấy sint, thay vào đó

Chúng ta có thể tính toán I.

3.5. Phương pháp sử dụng các nguyên mẫu phụ trợ Khi bạn gặp các nguyên hàm phức tạp với nhiều vấn đề ẩn, bạn nên sử dụng các nguyên hàm phụ để giải quyết vấn đề một cách nhanh chóng và chi tiết. Đối với dạng bài toán này, bạn cần áp dụng đúng công thức, sẽ rất nhanh chóng và tiện lợi. Như sau:Bước 1: Chọn (x = varphi