19 lượt xem

Cách chứng minh hai mặt phẳng vuông góc trong không gian cực hay | Educationuk-vietnam.org

Làm thế nào để chứng minh rằng hai mặt phẳng vuông góc với không gian

A. Phương pháp giải

Quảng cáo

* Chứng minh rằng hai mặt phẳng vuông góc

Để chứng minh (P) ⊥ (Q), ta có thể chứng minh bằng một trong các cách sau:

– Chứng minh rằng trong (P) tồn tại đường thẳng a mà a ⊥ (Q).

– Chứng minh ((P), (Q)) = 90 °

* Chứng minh rằng đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Để chứng minh d ⊥ (P), ta có thể chứng minh bằng một trong các cách sau:

– Chứng minh rằng d ⊂ (Q) với (Q) ⊥ (P) và d vuông góc với giao tuyến c của (P) và (Q).

Chứng minh rằng d = (Q) ∩ (R) với (Q) ⊥ (P) và (R) ⊥ (P).

– Sử dụng các bằng chứng đã biết ở phần trước.

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho tứ giác đều ABCD có AB ⊥ (BCD). Trong tam giác BDC vẽ các đường cao EU và DF cắt nhau tại O. Trong (ADC) vẽ DK ⊥ AC tại K. Mệnh đề nào sau đây không đúng?

A. (ADC) ⊥ (ABE) B. (ADC) ⊥ (DFK)

C. (ADC) ⊥ (ABC) D. (BDC) ⊥ (ABE)

Hướng dẫn giải pháp

Cách chứng minh hai mặt phẳng vuông góc trong không gian cực dễ thương - Toán lớp 11

Chúng tôi xem xét các tùy chọn:

Cách chứng minh hai mặt phẳng vuông góc trong không gian cực dễ thương - Toán lớp 11

Cách chứng minh hai mặt phẳng vuông góc trong không gian cực dễ thương - Toán lớp 11

Chọn kích cỡ

Ví dụ 2: Cho ABCD có hai mặt phẳng (ABC) và (ABD) cùng vuông góc với (DBC). Gọi EU và DF là đường cao của tam giác BCD, DK là đường cao của tam giác ACD. Chọn phát biểu sai trong các phát biểu sau?

A. (ABE) ⊥ (ADC) B. (ABD) ⊥ (ADC)

C. (ABC) ⊥ (DFK) D. (DFK) ⊥ (ADC)

Hướng dẫn giải pháp

Cách chứng minh hai mặt phẳng vuông góc trong không gian cực dễ thương - Toán lớp 11

Cách chứng minh hai mặt phẳng vuông góc trong không gian cực dễ thương - Toán lớp 11

Chọn HIQ

Quảng cáo

Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABC SA ⊥ (ABC) và đáy ABC là tam giác vuông tại A. Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên (SBC). Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. H SB

B. H trùng với trọng tâm tam giác SBC.

C. H SC

D. H ∈ SI (I là trung trực của BC).

Hướng dẫn giải pháp

Cách chứng minh hai mặt phẳng vuông góc trong không gian cực dễ thương - Toán lớp 11

Chọn DỄ DÀNG

Hãy để tôi là trung gian của Đấng Christ

⇒ AI BC mà BC SA BC (LỖI)

⇒ SI ⊥ pes (1)

Khi đó H là hình chiếu vuông góc của A trên (SBC).

Vẽ AH trước Chúa Kitô

Một lần nữa: SA BC

⇒ BC (SAH) BC SH (2)

Vẽ 3 điểm S từ (1) và (2); H; Tôi đang trong hàng đợi.

READ  [TOP 100+] Mẫu tranh vẽ phong cảnh đơn giản, đẹp, ấn tượng | Educationuk-vietnam.org

Chọn D.

Ví dụ 4: Cho khối chóp S.ABC có hai cạnh bên (SBC) và (SAC) cùng vuông góc với mặt đáy (ABC). Mệnh đề nào sau đây không đúng?

A. SC ⊥ (ABC)

B. Nếu A ‘là hình chiếu vuông góc của A trên (SBC) thì A’ ∈ SB.

C. (SAC) (ABC)

D. BK là đường cao của tam giác ABC thì BK ⊥ (SAC)

Hướng dẫn giải pháp

Cách chứng minh hai mặt phẳng vuông góc trong không gian cực dễ thương - Toán lớp 11

Chọn HIQ

+ Chúng tôi có: Cách chứng minh hai mặt phẳng vuông góc trong không gian cực dễ thương - Toán lớp 11

+ Gọi A ‘là hình chiếu vuông góc của A trên (SBC).

thì AA ‘⊥ (SBC) AA’ ⊥ BC A ‘∈ BC

Vậy đáp án B sai.

Chọn B.

Ví dụ 5: Cho hình chóp S.ABC có hai mặt bên (SAB) và (SAC) vuông góc với mặt đáy (ABC), tam giác ABC vuông cân tại A và có đường cao AH. Gọi O là hình chiếu vuông góc của A trên (SBC). Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. SC ⊥ (ABC)

B. (SAH) (SBC)

CO SC

D. Góc giữa (SBC) và (ABC) là góc BASBA

Hướng dẫn giải pháp

Cách chứng minh hai mặt phẳng vuông góc trong không gian cực dễ thương - Toán lớp 11

Chọn HIQ

Chúng ta có: Cách chứng minh hai mặt phẳng vuông góc trong không gian cực dễ thương - Toán lớp 11

Gọi H là trung điểm BC ⇒ AH ⊥ BC (vì tam giác ABC vuông cân tại A).

tại BC SA ⇒ BC (SAH) (SBC) (SAH)

Khi đó O là hình chiếu vuông góc của A trên (SBC).

Khi đó, O thuộc SH và ((SBC), (ABC)) = SHA

Vậy đáp án B đúng

Quảng cáo

Ví dụ 6: Rời khỏi ABCD.ANgày thứ nhấtTIẾT KIỆMNgày thứ nhấtNgày thứ nhấtmột cách dễ dàngNgày thứ nhất . Máy bay (ANgày thứ nhấtBD) không vuông góc với mặt phẳng nào sau đây?

A. (ABNgày thứ nhấtD) B. (ACCNgày thứ nhấthoặcNgày thứ nhất) C. (ABDNgày thứ nhất) D. (ANgày thứ nhấttrước Công NguyênNgày thứ nhất)

Hướng dẫn giải pháp

Cách chứng minh hai mặt phẳng vuông góc trong không gian cực dễ thương - Toán lớp 11

* Gọi I = ABNgày thứ nhất hoặcNgày thứ nhấtTIẾT KIỆM

Tam giác ANgày thứ nhấtBD đều có DI là trung bình, tức là

Cách chứng minh hai mặt phẳng vuông góc trong không gian rất hay - Toán lớp 11

Tam giác ANgày thứ nhấtBD đều có BJ là trung bình, do đó BJ ANgày thứ nhấtD.

Cách chứng minh hai mặt phẳng vuông góc trong không gian cực dễ thương - Toán lớp 11

Chọn DỄ DÀNG

Ví dụ 7: Hình lập phương ABCD.A’B’C’D ‘cho có cạnh a. Mệnh đề nào sau đây không đúng?

A. Tam giác AB’C là tam giác đều.

B. Nếu α là góc giữa AC ‘và (ABCD) thì cosα = √ (2/3).

C. ACC’A ‘là hình chữ nhật có diện tích 2a2.

D. Hai mặt bên (AA’C’C) và (BB’D’D) nằm trong hai mặt phẳng vuông góc với nhau.

READ  Điểm chuẩn Học viện Y Dược học cổ truyền Việt Nam | Educationuk-vietnam.org

Hướng dẫn giải pháp

Cách chứng minh hai mặt phẳng vuông góc trong không gian cực dễ thương - Toán lớp 11

Chọn kích cỡ

Từ giả thiết AC = a√2 có thể tính được

Mặt khác, vì ABCD.A’B’C’D ‘là hình lập phương nên AA’C’ = 90 °

Xét tứ giác ACC’A ‘có Cách chứng minh hai mặt phẳng vuông góc trong không gian cực dễ thương - Toán lớp 11

⇒ ACC’A ‘là hình chữ nhật có cạnh a và a√2.

Diện tích hình chữ nhật ACC’A ‘là:

S = aa√2 = a2√2 (đơn vị)

Câu C sai.

C. Bài tập thực hành

Câu hỏi 1: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D ‘ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a. Mệnh đề nào sau đây không đúng?

A. Hai cạnh ACC’A ‘và BDD’B’ vuông góc với nhau.

B. AC ‘với bốn đường chéo; AC; BD ‘; B’D bằng và bằng.

C. Hai cạnh ACC’A ‘và BDD’B’ là hai hình vuông bằng nhau.

D. AC BD ‘

Cách chứng minh hai mặt phẳng vuông góc trong không gian cực dễ thương - Toán lớp 11

Chọn kích cỡ

Vì theo giả thiết ABCD.A’B’C’D ‘ta có thể dễ dàng chỉ ra:

Cách chứng minh hai mặt phẳng vuông góc trong không gian cực dễ thương - Toán lớp 11

Đáp án A đúng.

+ Áp dụng định lý Pitago cho tam giác B’A’D ‘với A’ ta có:

B’D ‘2 = B’A ‘2 + A’D ‘2 = a2 + a2 = 2a2

Áp dụng định lý Pytago cho tam giác BB’D ‘thẳng với B’ ta có:

BD ‘2 = BB ‘2 + B’D ‘2 = a2 + 2a2 = 3a2 BD ‘= a√3

Hoàn toàn giống nhau, ta có thể tính độ dài các đường chéo còn lại của hình lập phương bằng và bằng a√3 jen Đáp án B đúng.

+ Xét tứ giác ACC’A ‘có

Cách chứng minh hai mặt phẳng vuông góc trong không gian cực dễ thương - Toán lớp 11

⇒ ACC’A ‘là hình chữ nhật

Hoàn toàn tương tự, chúng ta cũng chứng tỏ rằng BDD’B ‘cũng là một hình chữ nhật với các cạnh a và a√3

Hai cạnh ACC’A ‘và BDD’B’ là hai hình chữ nhật bằng nhau

Câu C sai.

Vargu 2: Cho lăng trụ ABCD.A’B’C’D ‘. Hình chiếu vuông góc của A ‘trên (ABC) trùng với trực tâm H của tam giác ABC. Khẳng định nào sau đây là không đúng?

A. (AA’B’B) ⊥ (BB’C’C)

B. (AA’H) (A’B’C ‘)

C. BB’C’C là hình chữ nhật

D. (BB’C’C) ⊥ (AA’H)

Cách chứng minh hai mặt phẳng vuông góc trong không gian cực dễ thương - Toán lớp 11

Chọn một

Gọi K là hình chiếu vuông góc của A trên BC.

Cách chứng minh hai mặt phẳng vuông góc trong không gian cực dễ thương - Toán lớp 11

Câu hỏi 3: Cho lăng trụ tứ giác đều ABCD.A’B’C’D ‘có đáy bằng a, góc giữa hai mặt phẳng (ABCD) và (ABC’) có đáy bằng 60 °. Mặt bên của lăng trụ bằng:

A. 3a B. a√3 C. 2a D. a√2

Cách chứng minh hai mặt phẳng vuông góc trong không gian cực dễ thương - Toán lớp 11

Chọn B.

Kemi: (ABCD) (ABC ‘) = AB

Ta có: AB ⊥ BC và AB ⊥ BB ‘(vì lăng trụ đã cho là lăng trụ tứ giác đều)

READ  Giải GDCD 6 Bài 13: Công dân nước Cộng hòa xã hội chủ nghĩa Việt Nam | Educationuk-vietnam.org

⇒ AB (BB’C’C) bằng C’B ⊂ (BB’C’C) AB C’B

Ngược lại: CB AB

((ABCD), (ABC ‘)) = (CB, C’B) = CBC’ = 60 °

Áp dụng hệ thức lượng giác cho tam giác BCC ‘vuông góc với C, ta có:

tan (CBC ‘) = CC’ / CB ⇒ CC ‘= CB.tan (CBC’) = a.tan60 ° = a√3

Câu hỏi 4: Cho hai tam giác ACD và BCD nằm trên hai mặt phẳng vuông góc và AC = AD = BC = BD = a; CD = 2x. Với giá trị nào của x thì hai mặt phẳng (ABC) và (ABD) vuông góc với nhau.

Cách chứng minh hai mặt phẳng vuông góc trong không gian cực dễ thương - Toán lớp 11

Gọi I và J lần lượt là trung điểm của CD và AB

Vì AC = BC nên tam giác ACB là tam giác tại C và CJ là trung bình

⇒ CJ vuông AB (1)

Tương tự, ta có: DJ vuông góc với AB. (2)

Một lần nữa: (ABC) (ABD) = AB (3)

Từ (1), (2), (3) ⇒ ((ABC); (ABD)) = ∠CJD

Vậy để 2 mp (ABC) và (ABD) vuông góc với nhau thì tam giác CJD vuông cân tại J

(Lưu ý: CAB = DAB (ccc) nên CJ = DJ)

Cách chứng minh hai mặt phẳng vuông góc trong không gian cực dễ thương - Toán lớp 11

Vậy chọn đáp án A

Câu hỏi 5: Cho hình chóp S.ABC SA ⊥ (ABC) và đáy ABC là hình vuông ở A. Mệnh đề nào sau đây không đúng?

A. (SAB) (ABC)

B. (SAB) ⊥ (SAC).

C. Vẽ AH ⊥ BC, H ∈ BC Góc AHS là góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC).

D. Góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (SAC) là góc ∠SCB

Cách chứng minh hai mặt phẳng vuông góc trong không gian cực dễ thương - Toán lớp 11

Chọn DỄ DÀNG

Cách chứng minh hai mặt phẳng vuông góc trong không gian cực dễ thương - Toán lớp 11

Đáp án D sai


Giới thiệu kênh Youtube VietJack

Ngân hàng đề kiểm tra lớp 11 trong Khoahoc.vietjack.com

CHỈ 250 nghìn cho mỗi khóa học, VIETJACK HỖ TRỢ COVID

Đăng ký khóa học 11 tốt nhất dành cho teen 2k4 tại Khoahoc.vietjack.com

Bạn đã có ứng dụng VietJack trên điện thoại, Giải bài tập SGK, Giải bài tập SBT, Soạn văn, Bài văn mẫu, Đề thi online, Bài giảng … miễn phí. Tải xuống ứng dụng ngay bây giờ trên Android và iOS.

Nhóm hướng dẫn facebook miễn phí cho teen 2k5: fb.com/groups/hoctap2k5/

Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:

Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Nhận xét không phù hợp quy tắc bình luận trên trang web Bạn sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.


Các bộ truyện lớp 11 khác